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LINFINI MATHEMATIQUE EST-IL INVENTE OU DECOUVERT extension par forcing de ce modèle se prononcera de la même manière — E y restera vrai. Pour les énoncés d’arithmétique, le forcing ne peut pas faire basculer les modèles (comme c’est le cas pour HC) de vrai à faux ou l’inverse : le domaine des entiers est stable par forcing dans ZFC. C’est la une propriété très satisfaisante de ZFC: cela signifie que ZFC est un systeme convenable pour les entiers. C’est d’ailleurs une chose sur laquelle les mathématiciens s’accordent, car a part certains énoncés assez artificiels directement tirés de la logique, on n’a jamais proposé d’énoncés arithmétiques pour lesquels on puisse prouver que ZFC est insuffisant. La stabilisation des entiers par ZFC n’est pas la complétude logique qui serait l'affirmation : — pour toute formule E, E est démontrable ou non-E est démontrable. Les célèbres résultats d’incomplétude de Güdel rendent définitivement impossible une telle complétude parfaite. On peut cependant voir la stabilisation des entiers comme une « complétude faible ». Il faut se réjouir de cette propriété de ZEC et essayer de la prolonger. Un axiome qui, ajouté à ZEC, stabiliserait de la même façon non plus seulement les entiers mais une partie plus grande de l’univers des ensembles serait un axiome satisfaisant, car il approcherait un peu plus de la complétude qui, même si elle est inaccessible dans sa totalité, est bien évidemment attendue même sous ses formes faibles de tout bon système axiomatique. Grâce à cette idée, on dispose d’une méthode nouvelle et fondée de manière intelligible, pour séparer les axiomes qu’il est raisonnable d'ajouter à ZEC de ceux qu'il faut écarter. On demandera aux axiomes nouveaux de prolonger la stabilisation que ZEC opère sur les entiers, c’est-à-dire de stabiliser une plus grande partie de l’univers ensembliste. Pour résumer, ajouter de nouveaux axiomes à ZFC (dans le but en particulier de savoir si HC est vraie ou pas) ne doit pas se faire arbitrairement — ce serait admettre que l'infini est une fiction —, mais doit être mené sur la base de critères naturels dont les trois principaux sont les suivants. -a- Les axiomes ne doivent pas introduire de contradiction. -b- Les axiomes doivent suivre le maximalisme ontologique et doivent donc être compatibles avec les axiomes de grands cardinaux connus. -c- Les axiomes doivent, autant que possible, stabiliser de nouvelles parties de l’univers des ensembles, c’est-à-dire constituer un progrès vers l’inaccessible mais approchable complétude. Dispose-t-on de candidats ? A-t-on découvert de tels axiomes naturels ? La réponse est oui, deux axiomes semblent satisfaire à ces trois critères et sont donc candidats comme nouveaux axiomes de la théorie des ensembles. +13 +
