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LINFINI MATHEMATIQUE EST-IL INVENTE OU DECOUVERT
extension par forcing de ce modèle se prononcera de la même manière — E y
restera vrai.
Pour les énoncés d’arithmétique, le forcing ne peut pas faire basculer les
modèles (comme c’est le cas pour HC) de vrai à faux ou l’inverse : le domaine des
entiers est stable par forcing dans ZFC. C’est la une propriété très satisfaisante
de ZFC: cela signifie que ZFC est un systeme convenable pour les entiers. C’est
d’ailleurs une chose sur laquelle les mathématiciens s’accordent, car a part certains
énoncés assez artificiels directement tirés de la logique, on n’a jamais proposé
d’énoncés arithmétiques pour lesquels on puisse prouver que ZFC est insuffisant.
La stabilisation des entiers par ZFC n’est pas la complétude logique qui serait
l'affirmation :
— pour toute formule E, E est démontrable ou non-E est démontrable.
Les célèbres résultats d’incomplétude de Güdel rendent définitivement
impossible une telle complétude parfaite. On peut cependant voir la stabilisation
des entiers comme une « complétude faible ». Il faut se réjouir de cette propriété
de ZEC et essayer de la prolonger.
Un axiome qui, ajouté à ZEC, stabiliserait de la même façon non plus seulement
les entiers mais une partie plus grande de l’univers des ensembles serait un axiome
satisfaisant, car il approcherait un peu plus de la complétude qui, même si elle
est inaccessible dans sa totalité, est bien évidemment attendue même sous ses
formes faibles de tout bon système axiomatique.
Grâce à cette idée, on dispose d’une méthode nouvelle et fondée de manière
intelligible, pour séparer les axiomes qu’il est raisonnable d'ajouter à ZEC de
ceux qu'il faut écarter. On demandera aux axiomes nouveaux de prolonger la
stabilisation que ZEC opère sur les entiers, c’est-à-dire de stabiliser une plus
grande partie de l’univers ensembliste.
Pour résumer, ajouter de nouveaux axiomes à ZFC (dans le but en particulier
de savoir si HC est vraie ou pas) ne doit pas se faire arbitrairement — ce serait
admettre que l'infini est une fiction —, mais doit être mené sur la base de critères
naturels dont les trois principaux sont les suivants.
-a- Les axiomes ne doivent pas introduire de contradiction.
-b- Les axiomes doivent suivre le maximalisme ontologique et doivent donc
être compatibles avec les axiomes de grands cardinaux connus.
-c- Les axiomes doivent, autant que possible, stabiliser de nouvelles parties
de l’univers des ensembles, c’est-à-dire constituer un progrès vers l’inaccessible
mais approchable complétude.
Dispose-t-on de candidats ? A-t-on découvert de tels axiomes naturels ? La
réponse est oui, deux axiomes semblent satisfaire à ces trois critères et sont donc
candidats comme nouveaux axiomes de la théorie des ensembles.
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