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LINFINI MATHEMATIQUE EST-IL INVENTE OU DECOUVERT
a son terme en produisant une réponse négative a la question que Cantor
découvrait il y a 120 ans: le continu est-il le premier infini juste au-delà de l'infini
dénombrable ?
Notons d’ailleurs que des résultats partiels suggèrent fortement qu'entre le
dénombrable et le continu, il n’y aurait qu’un seul infini intermédiaire. Savoir ce
qui se passe au-delà apparaît d’une difficulté bien trop grande et hors de portée
du moins pour le moment: l'infini est loin d’avoir livré la totalité de ses mystères.
L’infini de mieux en mieux compris
Donnons quelques précisions complémentaires pour terminer. Même si la
question n'est pas totalement réglée aujourd’hui et si quelques spécialistes
considèrent même qu’une solution opposée à celle de Woodin n’est pas totalement
exclue — par exemple par la découverte d’un axiome de grand cardinal qui aurait
pour conséquence HC -, les progrès faits sont considérables et constituent une
série de puissants indices en faveur de la réalité de l'infini. Ils concernent la
formulation et la classification des grands cardinaux dont la compréhension nous
ouvre une théorie de l’infini dont il est impossible de prétendre qu'elle a été fixée
arbitrairement par les mathématiciens.
Ils concernent l’axiome DP qu'un accord quasi-général propose d'ajouter à
ZFC et dont il a été prouvé qu’il nous approchait d’une forme de complétude.
L'accord sur DP, dont Woodin dit qu'il le considère aussi vrai que les axiomes de
l’arithmétique élémentaire, montre que le programme d'ajouter des axiomes
naturels aux axiomes de base de la théorie des ensembles n’est pas une utopie.
L’infini est approchable. Il se dévoile lorsque nous prenons la peine de l’examiner.
En le contemplant, nous en découvrons et en comprenons la nature. Ceux qui
craignent de formuler une conclusion philosophique trop abrupte du type «l'infini
existe » s'exprimeront plus prudemment et comme Patrick Dehornoy diront
seulement : «il semble difficile de nier que la compréhension développée par
Woodin et les théories qu’il élabore portent sur quelque chose, quand bien même
cette chose ne serait pas l'infini non dénombrable en termes duquel les résultats
sont aujourd’hui énoncés ».
Les derniers progrès portent enfin sur des constructions conceptuelles dont
la somme dessine un paysage de plus en plus net et cohérent des ensembles
jusqu’au niveau Aleph-2, laissant entrevoir que l’axiome MMVW sera bientôt
ajouté à ZFC+DP et qu’il permettra de dire que HC est fausse. Hugh Woodin à
qui on doit une partie importante des dernières avancées est clair: «il y a 10 ans,
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