Oldal 16 [16]
JEAN-PAUL DELAHAYE
Le premier est l’axiome de détermination projective, DP. Cet axiome, qui est
l'aboutissement des recherches menées dans les décennies 1970 et 1980, exprime
que tous les jeux d’une certaine catégorie de jeux infinis possèdent des stratégies
gagnantes permettant à l’un des deux joueurs de gagner à tout coup. Une série
de résultats dus en particulier à Jan Mycielski, Yiannis Moschovakis et Alexander
Kechris montre que DP stabilise la partie de l'univers des ensembles correspondant
à l'infini juste au-dessus du dénombrable (Aleph-1) ce qui va donc plus loin que
la stabilisation par ZFC des entiers (le dénombrable, Aleph-0).
D’autre part, l’axiome DP est compatible avec les axiomes des grands cardinaux
car — et ce fut l’un des aboutissements de la recherche de cette période — Donald
Martin et John Steel ont établi en 1985 que DP était lui-même, en un sens précis,
un axiome de grand cardinal.
Malheureusement, DP ne dit rien concertant HC et laisse donc toujours le
choix entre l’ajouter ou ajouter sa négation ! Il faut aller encore plus loin et chercher
des axiomes qui stabilisent l’univers des ensembles au-delà de Aleph-1.
C’est là que les derniers progrès de la théorie se sont présentés. Un nouvel
axiome MMW (Martin Maximum de Woodin) a été proposé par Hugh Woodin
qui nous conduit tout prés de la solution attendue pour HC. Bien que la situation
a propos de cet axiome ne soit pas définitivement réglée, les résultats a son sujet
convergent de manière résolue vers la conclusion que HC est fausse. Voici
pourquoi.
D'une part, cet axiome stabilise la partie de l’univers des ensembles
correspondant cette fois à l'infini, deux degrés au-dessus de l'infini dénombrable
infini (Aleph-2). On a gagné un degré par rapport à DP. Cet axiome est donc un
bon axiome au sens des critères adoptés aujourd’hui pour trier les axiomes.
D'autre part, il apparaît très probable que le nouvel axiome est conforme au
maximalisme ontologique, car un axiome assez semblable a été démontré
compatible avec les axiomes de grands cardinaux.
Troisième point: moyennant une hypothèse jugée raisonnable et dont on
espère pouvoir obtenir la preuve (cette hypothèse est nommée oméga-conjecture)
on sait que HC est fausse quand on adopte MMW.
Dernier point, peut-être le plus important: toujours sous la réserve de l’oméga¬
conjecture, on sait que tout axiome qui stabiliserait la partie de l’univers
correspondant à Aleph-2 aurait aussi pour conséquence la fausseté de HC.
Autrement dit, si tout cela est confirmé, toute méthode de stabilisation des
ensembles jusqu’à Aleph-2 a pour conséquence que HC est fausse. Patrick
Dehornoy propose de dire que HC est essentiellement fausse.
Moyennant quelques points en attente, le programme de Güdel de recherche
de nouveaux axiomes naturels permettant la résolution de HC toucherait donc
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