Seite 14 [14]
OCR
JEAN-PAUL DELAHAYE ontologique, on exigera guil existe des ensembles plus gros que tous ceux de cette série. Grands cardinaux et HC Dans cette quéte fructueuse d’axiomes de grands cardinaux, un espoir constant a été que l’un des axiomes découvert et étudié par les chercheurs aurait une incidence sur l’hypothèse du continu, soit parce que son utilisation démontrerait qu’elle est vraie, soit parce qu'elle démontrerait qu'elle est fausse. Si cela s'était produit, le problème de HC aurait été considéré comme définitivement réglé. En effet, un axiome naturel (car conforme au principe du maximalisme ontologique) aurait fixé le statut de HC, et donc, sans avoir à ajouter HC (ou non-HC) aux axiomes de ZFC, mais en ajoutant seulement cet axiome naturel, nous aurions disposé d’une théorie de l’infini tranchant d’une manière non arbitraire la question qui hantait Cantor. Malheureusement cette attente d’un règlement de l'hypothèse du continu par les axiomes de grands cardinaux a été déçue et, à l’inverse, on a pu établir pour de larges classes d’axiomes de grands cardinaux qu’ils étaient sans influence sur HC. Le maximalisme ontologique laisse donc, en apparence, toujours le libre choix d'adopter ou de rejeter HC. Cet échec temporaire de la doctrine des axiomes supplémentaires et donc de l’idée que l'infini est une réalité déterminée a contraint à la recherche d’autres critères pour la formulation d’axiomes acceptables. Le plus important d’entre eux est assez subtil, mais c’est de lui que viennent les progrès récents et l'espoir d’une solution proche de HC. Stabiliser les entiers et au-delà La méthode du forcing de Paul Cohen est très puissante et parfois elle l’est trop. On peut ainsi agrandir par forcing un modèle de ZEC et s'arranger pour que HC devienne fausse (c'est ce qu’a proposé Cohen), mais on peut ensuite agrandir à nouveau le modèle obtenu et s'arranger pour que HC devienne vraie! Le forcing, en quelque sorte, n’a pas d'avis sur HC. En revanche, pour un énoncé d’arithmétique E (énoncé ne mentionnant que des entiers; par exemple «tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers ») si un modèle se prononce — car Ey est vrai par exemple -, alors toute s 12 e
