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JEAN-PAUL DELAHAYE
ontologique, on exigera guil existe des ensembles plus gros que tous ceux de
cette série.
Grands cardinaux et HC
Dans cette quéte fructueuse d’axiomes de grands cardinaux, un espoir constant
a été que l’un des axiomes découvert et étudié par les chercheurs aurait une
incidence sur l’hypothèse du continu, soit parce que son utilisation démontrerait
qu’elle est vraie, soit parce qu'elle démontrerait qu'elle est fausse. Si cela s'était
produit, le problème de HC aurait été considéré comme définitivement réglé. En
effet, un axiome naturel (car conforme au principe du maximalisme ontologique)
aurait fixé le statut de HC, et donc, sans avoir à ajouter HC (ou non-HC) aux
axiomes de ZFC, mais en ajoutant seulement cet axiome naturel, nous aurions
disposé d’une théorie de l’infini tranchant d’une manière non arbitraire la ques¬
tion qui hantait Cantor.
Malheureusement cette attente d’un règlement de l'hypothèse du continu par
les axiomes de grands cardinaux a été déçue et, à l’inverse, on a pu établir pour
de larges classes d’axiomes de grands cardinaux qu’ils étaient sans influence sur
HC. Le maximalisme ontologique laisse donc, en apparence, toujours le libre
choix d'adopter ou de rejeter HC.
Cet échec temporaire de la doctrine des axiomes supplémentaires et donc de
l’idée que l'infini est une réalité déterminée a contraint à la recherche d’autres
critères pour la formulation d’axiomes acceptables. Le plus important d’entre
eux est assez subtil, mais c’est de lui que viennent les progrès récents et l'espoir
d’une solution proche de HC.
Stabiliser les entiers et au-delà
La méthode du forcing de Paul Cohen est très puissante et parfois elle l’est trop.
On peut ainsi agrandir par forcing un modèle de ZEC et s'arranger pour que HC
devienne fausse (c'est ce qu’a proposé Cohen), mais on peut ensuite agrandir à
nouveau le modèle obtenu et s'arranger pour que HC devienne vraie! Le forcing,
en quelque sorte, n’a pas d'avis sur HC.
En revanche, pour un énoncé d’arithmétique E (énoncé ne mentionnant que
des entiers; par exemple «tout nombre pair est la somme de deux nombres
premiers ») si un modèle se prononce — car Ey est vrai par exemple -, alors toute
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