Oldal 13 [13]
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LINFINI MATHEMATIQUE EST-IL INVENTE OU DECOUVERT Le travail du mathématicien et du logicien doit donc, selon cette doctrine, étre la recherche de nouveaux axiomes qui, associés aux autres — ceux de ZFC -, permettront de démontrer soit que HC est vraie, soit que HC est fausse. Cette recherche de nouveaux axiomes doit se baser sur des critéres aidant 4 séparer les « bons axiomes » (qui seront conformes aux propriétés des « vrais ensembles ») des « mauvais axiomes ». Quels peuvent étre ces critéres ? Le premier d’entre eux est bien sûr la non-contradiction : un axiome nouveau ne doit pas contredire les axiomes usuels de ZFC qui ont été posés parce qu'évidents en eux-mêmes. Maximalisme ontologique Le second critère permettant de considérer qu’un axiome est acceptable est le maximalisme ontologique. L'idée en est assez simple: tout axiome qui affirme que l'univers des ensembles est grand doit être adopté, car l'univers des ensembles, s’il existe, n’est limité par aucun principe et est donc aussi grand que tout ce qui est possible. Tout principe mathématique affirmant l'existence d’ensembles de grande taille est vrai a priori selon ce maximalisme ontologique qui sert donc de guide concret pour la recherche de nouveaux axiomes a ajouter a ZFC. Le premier axiome conforme au maximalisme ontologique n’est pas nouveau et appartient déjà à ZEC, car c’est celui qui affirme que l’univers des ensembles en contient qui sont infinis. La théorie ZEC dont on retire l’axiome affirmant qu'il existe des ensembles infinis pour le remplacer par sa négation « tout ensemble est fini » est une théorie équivalente à l’arithmétique. C’est une théorie intéressante, certes, mais limitée. L'adoption de l’axiome de l'infini fait entrer dans le véritable univers mathématique qui accepte les objets infinis, comme les nombres réels — indispensables dans les sciences de la nature. Aller au-delà de ce maximalisme ontologique de base — l'affirmation qu'il y a des ensembles infinis — a été une préoccupation centrale de la théorie des ensembles depuis cinquante ans et a donné naissance à une multitude d’axiomes nouveaux baptisés axiomes de grands cardinaux. Les énoncer avec précision entraînerait dans des complications techniques, mais une idée en sera donnée en disant que parmi les conséquences du maximalisme ontologique, il y a le fait qu'il doit exister un ensemble plus gros que tous ceux de la série déjà envisagée: N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), … Cette série d'ensembles infinis de plus en plus gros fait frémir tant leurs tailles s’accroissent rapidement en allant vers la droite. L'essentiel des mathématiques usuelles se satisfait des 4 premiers niveaux. Pourtant, au nom du maximalisme + 11»
