Oldal 13 [13]
LINFINI MATHEMATIQUE EST-IL INVENTE OU DECOUVERT
Le travail du mathématicien et du logicien doit donc, selon cette doctrine,
étre la recherche de nouveaux axiomes qui, associés aux autres — ceux de ZFC -,
permettront de démontrer soit que HC est vraie, soit que HC est fausse. Cette
recherche de nouveaux axiomes doit se baser sur des critéres aidant 4 séparer
les « bons axiomes » (qui seront conformes aux propriétés des « vrais ensembles »)
des « mauvais axiomes ». Quels peuvent étre ces critéres ?
Le premier d’entre eux est bien sûr la non-contradiction : un axiome nouveau
ne doit pas contredire les axiomes usuels de ZFC qui ont été posés parce qu'évidents
en eux-mêmes.
Maximalisme ontologique
Le second critère permettant de considérer qu’un axiome est acceptable est le
maximalisme ontologique. L'idée en est assez simple: tout axiome qui affirme
que l'univers des ensembles est grand doit être adopté, car l'univers des ensembles,
s’il existe, n’est limité par aucun principe et est donc aussi grand que tout ce qui
est possible. Tout principe mathématique affirmant l'existence d’ensembles de
grande taille est vrai a priori selon ce maximalisme ontologique qui sert donc
de guide concret pour la recherche de nouveaux axiomes a ajouter a ZFC.
Le premier axiome conforme au maximalisme ontologique n’est pas nouveau
et appartient déjà à ZEC, car c’est celui qui affirme que l’univers des ensembles
en contient qui sont infinis. La théorie ZEC dont on retire l’axiome affirmant
qu'il existe des ensembles infinis pour le remplacer par sa négation « tout ensemble
est fini » est une théorie équivalente à l’arithmétique. C’est une théorie intéressante,
certes, mais limitée. L'adoption de l’axiome de l'infini fait entrer dans le véritable
univers mathématique qui accepte les objets infinis, comme les nombres réels
— indispensables dans les sciences de la nature.
Aller au-delà de ce maximalisme ontologique de base — l'affirmation qu'il y
a des ensembles infinis — a été une préoccupation centrale de la théorie des
ensembles depuis cinquante ans et a donné naissance à une multitude d’axiomes
nouveaux baptisés axiomes de grands cardinaux. Les énoncer avec précision
entraînerait dans des complications techniques, mais une idée en sera donnée
en disant que parmi les conséquences du maximalisme ontologique, il y a le fait
qu'il doit exister un ensemble plus gros que tous ceux de la série déjà envisagée:
N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), …
Cette série d'ensembles infinis de plus en plus gros fait frémir tant leurs tailles
s’accroissent rapidement en allant vers la droite. L'essentiel des mathématiques
usuelles se satisfait des 4 premiers niveaux. Pourtant, au nom du maximalisme
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