Page 12 [12]
JEAN-PAUL DELAHAYE
La méthode de Gödel consiste a se donner une structure qui vérifie les axiomes
de ZFC, puis 4 en extraire une sous-structure (comme on extrait le sous-corps
R des nombres réels, du corps des nombres complexes C). La sous-structure
vérifie toujours les axiomes de ZFC, mais vérifie en plus HC. Si ZFC n'est pas
contradictoire — c’est-a-dire posséde des modéles — cette construction montre
que ZFC+HC en posséde aussi, et donc ZFC+HC n’est pas contradictoire. La
non-contradiction de ZFC implique celle de ZFC+HC. Cette méthode de construc¬
tion de modèles internes est importante, mais elle n’est pas suffisante pour dé¬
montrer que l’on peut aussi ajouter non-HC (la négation de HC) a ZEC.
C’est ce que réussit à faire Paul Cohen en 1963 par une technique appelée
forcing qui se fonde sur une idée nouvelle. On part d’une structure qui vérifie
ZEC, puis on introduit de nouveaux éléments dans cette structure, ce qui
l'agrandit. Bien menée, cette extension produit une nouvelle structure vérifiant
cette fois ZFC et la négation de HC.
La méthode externe de Paul Cohen est comparable à ce qu'on fait classiquement
en mathématiques quand, partant de N, l’ensemble des entiers positifs ou nul,
on introduit de nouveaux nombres pour obtenir Z (l’ensemble des entiers positifs
et négatifs), ou lorsque l’on construit le corps des nombres réels R à partir du
corps des nombres rationnels Q.
Le résultat de Cohen associé à celui de Güdel signifie que les axiomes usuels
de ZFC sont extensibles soit par HC, soit par non-HC sans que cela introduise
de contradiction (s’il n’y en a pas déja). Laxiome HC est indépendant des autres,
on dit aussi: HC est indécidable dans ZFC. En quelque sorte, on a le libre choix
entre HC et non-HC! Cette liberté de choix a souvent été interprétée dans un
sens antiréaliste: l’infini n’existe pas réellement, il est ce que nous voulons qu’il
soit!
De nouveaux axiomes ?
Kurt Güdel n'était pas de cet avis et pensait d’ailleurs que l’hypothése du conti¬
nu est fausse. L'idée qu’il défendait constitue ce qu’on nomme parfois la doctrine
des axiomes manquants. Voici précisément ce qu'il écrivait: «Si le sens des
termes de base de la théorie des ensembles est admis, il en résulte que les concepts
ensemblistes et les théorèmes de la théorie des ensembles décrivent une réalité
bien déterminée à propos de laquelle la conjecture de Cantor [I’hypothése du
continu] est vraie ou fausse. Son indécidabilité 4 partir des axiomes connus
aujourd’hui signifie nécessairement que ces axiomes ne donnent pas une des¬
cription complete de cette réalité ».
+10 +