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JEAN-PAUL DELAHAYE mais peuvent faire l’objet d’une véritable théorie conceptuelle allant bien au-delà de l'exploration formelle des conséquences d’axiomes plus ou moins arbitraires.» Galilée, Cantor, Gôdel et Cohen Galilée remarqua qu’il y avait autant de nombres entiers que de nombres carrés: l’ensemble des entiers peut être mis en correspondant bijective avec l’ensemble des carrés: 0->0;1->1;2->4;3-> 9; etc. A chaque élément du premier ensemble correspond un élément unique du second, sans oubli et sans répétition. On concluait de ce paradoxe de Galilée que la compréhension de l’infini est réservée à Dieu... ou bien que l’infini n’existe pas. Lorsque Georg Cantor, vers 1874, démontre que l’ensemble des nombres réels ne peut pas être mis en correspondance bijective avec l’ensemble des nombres entiers cela constitue un progrès fondamental. Ce résultat signifie que l’ensemble des nombres réels est strictement plus gros que celui des entiers, et cela pose la base mathématique d’une théorie rigoureuse de l’infini devenue le socle sur lequel se fonde toutes les mathématiques. Aujourd’hui encore les chercheurs explorent cet infini cantorien construisant une science rigoureuse et pleine de surprises qui décennie après décennie devient plus précise, plus riche. plus solide. Un résultat fondamental de Cantor est qu'aucun ensemble E ne peut être mis en correspondance bijective avec l’ensemble de ses parties P(E). Pour les ensembles finis, c’est évident, car par exemple E = {a, b, c} possède trois éléments alors que l’ensemble de ses parties P(E) ={o, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} en possède 8. Plus généralement un ensemble à nr élément possède 2” parties. Dans le cas des ensembles infinis, c'est moins évident, mais c’est vrai aussi : P(E) est toujours strictement plus grand que E. On en déduit qu'il existe une infinité de types d'infinis différents, de plus en plus gros. — Il ya l'infini de N, l’ensemble des nombres entiers {0, 1,2, 3,4, .}. Cetinfini dénommé infini dénombrable et parfois appelé Aleph-0O. — Il y a l’infini de P(N), l’ensemble des parties de N. Cet ensemble P(N) se met facilement en bijection avec l’ensemble des nombres réels, R, et constitue ce qu'on nomme le continu. — Il y a plus gros encore, l'infini de P(P(N)), l’ensemble des parties de P(N), puis P(P(P(N))) l’ensemble des parties de P(P(N)), etc. Par ailleurs, à côté de cette première série infinie d’infinis, la théorie de Cantor indique qu'il existe aussi un plus petit type d’infini juste au-dessus de celui des entiers (appelé Aleph-1) et un autre juste au-dessus (appelé Aleph-2), etc. 8 +
