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JEAN-PAUL DELAHAYE
mais peuvent faire l’objet d’une véritable théorie conceptuelle allant bien au-delà
de l'exploration formelle des conséquences d’axiomes plus ou moins arbitraires.»
Galilée, Cantor, Gôdel et Cohen
Galilée remarqua qu’il y avait autant de nombres entiers que de nombres carrés:
l’ensemble des entiers peut être mis en correspondant bijective avec l’ensemble
des carrés:
0->0;1->1;2->4;3-> 9; etc.
A chaque élément du premier ensemble correspond un élément unique du
second, sans oubli et sans répétition. On concluait de ce paradoxe de Galilée que
la compréhension de l’infini est réservée à Dieu... ou bien que l’infini n’existe pas.
Lorsque Georg Cantor, vers 1874, démontre que l’ensemble des nombres réels
ne peut pas être mis en correspondance bijective avec l’ensemble des nombres
entiers cela constitue un progrès fondamental. Ce résultat signifie que l’ensemble
des nombres réels est strictement plus gros que celui des entiers, et cela pose la
base mathématique d’une théorie rigoureuse de l’infini devenue le socle sur lequel
se fonde toutes les mathématiques. Aujourd’hui encore les chercheurs explorent
cet infini cantorien construisant une science rigoureuse et pleine de surprises
qui décennie après décennie devient plus précise, plus riche. plus solide.
Un résultat fondamental de Cantor est qu'aucun ensemble E ne peut être mis
en correspondance bijective avec l’ensemble de ses parties P(E). Pour les ensembles
finis, c’est évident, car par exemple E = {a, b, c} possède trois éléments alors que
l’ensemble de ses parties P(E) ={o, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} en possède
8. Plus généralement un ensemble à nr élément possède 2” parties. Dans le cas
des ensembles infinis, c'est moins évident, mais c’est vrai aussi : P(E) est toujours
strictement plus grand que E. On en déduit qu'il existe une infinité de types
d'infinis différents, de plus en plus gros.
— Il ya l'infini de N, l’ensemble des nombres entiers {0, 1,2, 3,4, .}. Cetinfini
dénommé infini dénombrable et parfois appelé Aleph-0O.
— Il y a l’infini de P(N), l’ensemble des parties de N. Cet ensemble P(N) se met
facilement en bijection avec l’ensemble des nombres réels, R, et constitue ce qu'on
nomme le continu.
— Il y a plus gros encore, l'infini de P(P(N)), l’ensemble des parties de P(N),
puis P(P(P(N))) l’ensemble des parties de P(P(N)), etc.
Par ailleurs, à côté de cette première série infinie d’infinis, la théorie de Can¬
tor indique qu'il existe aussi un plus petit type d’infini juste au-dessus de celui
des entiers (appelé Aleph-1) et un autre juste au-dessus (appelé Aleph-2), etc.
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