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Jean-Paul Delahaye L’infini mathematique est-il inventé ou découvert ? Les proprietes de l’infini ne sont pas choisies et les avancées réguliéres de la théorie axiomatique des ensembles le rendent intelligible. Des régles naturelles s'imposent aux mathématiciens. Elles prouvent que l’infini n’est pas une construction mentale arbitraire. Ces affirmations que les mathématiciens énoncent sur l'infini laissent parfois dubitatif. En termes simples, se pose la question: l'infini existe-t-il, ou l'infini est-il une fiction théorique et une illusion créée par la manipulation de symboles abstraits sans liens avec la réalité ? Pour répondre il faut examiner la dureté de l'infini. Si tout est possible et qu'aucun outil ne fait avancer la connaissance de l'infini, c’est sans doute qu’il est imaginaire: nous l’inventons. Si au contraire, on découvre sur lui des vues cohérentes et contraignantes et que des idées naturelles déterminent d’une manière concordante ses propriétés, alors cela signifie qu’au-delà des axiomes, des démonstrations et des formalismes, il y a sans doute un infini véritable que nous ne décidons pas et dont l'existence doit être considérée certaine. L'hypothèse du continu (HC) affirme qu'il n’y a pas de tailles d'ensemble intermédiaires entre celle des nombres entiers — l'infini dénombrable — et celle des nombres réels — l'infini du continu. Savoir si on doit accepter HC ou non est un problème fondamental de la théorie des ensembles. Les progrès obtenus ces dernières années à son sujet suggèrent que HC est fausse. C’est un argument fort en faveur de l’idée que l’infini de la théorie des ensembles n’est pas une invention libre de théoriciens, mais bien une réalité déterminée, que le travail des chercheurs nous fait connaître de mieux en mieux. L’intelligibilité de l'infini et la cohérence complexe et inattendue des vues que les logiciens découvrent sur lui appuient l’idée que l'infini préexiste à notre rencontre avec lui. En le comprenant nous ne sommes pas en train de l’imaginer, mais bien de l’observer et de le contempler. Comme l'écrit Patrick Dehornoy, les résultats obtenus « contribuent à montrer que le problème du continu et, plus généralement, la notion d’infini non dénombrable ne sont pas intrinsèquement vagues et inaccessibles à l'analyse, 7 ¢
