Oldal 17 [17]
OCR
LINFINI MATHEMATIQUE EST-IL INVENTE OU DECOUVERT a son terme en produisant une réponse négative a la question que Cantor découvrait il y a 120 ans: le continu est-il le premier infini juste au-delà de l'infini dénombrable ? Notons d’ailleurs que des résultats partiels suggèrent fortement qu'entre le dénombrable et le continu, il n’y aurait qu’un seul infini intermédiaire. Savoir ce qui se passe au-delà apparaît d’une difficulté bien trop grande et hors de portée du moins pour le moment: l'infini est loin d’avoir livré la totalité de ses mystères. L’infini de mieux en mieux compris Donnons quelques précisions complémentaires pour terminer. Même si la question n'est pas totalement réglée aujourd’hui et si quelques spécialistes considèrent même qu’une solution opposée à celle de Woodin n’est pas totalement exclue — par exemple par la découverte d’un axiome de grand cardinal qui aurait pour conséquence HC -, les progrès faits sont considérables et constituent une série de puissants indices en faveur de la réalité de l'infini. Ils concernent la formulation et la classification des grands cardinaux dont la compréhension nous ouvre une théorie de l’infini dont il est impossible de prétendre qu'elle a été fixée arbitrairement par les mathématiciens. Ils concernent l’axiome DP qu'un accord quasi-général propose d'ajouter à ZFC et dont il a été prouvé qu’il nous approchait d’une forme de complétude. L'accord sur DP, dont Woodin dit qu'il le considère aussi vrai que les axiomes de l’arithmétique élémentaire, montre que le programme d'ajouter des axiomes naturels aux axiomes de base de la théorie des ensembles n’est pas une utopie. L’infini est approchable. Il se dévoile lorsque nous prenons la peine de l’examiner. En le contemplant, nous en découvrons et en comprenons la nature. Ceux qui craignent de formuler une conclusion philosophique trop abrupte du type «l'infini existe » s'exprimeront plus prudemment et comme Patrick Dehornoy diront seulement : «il semble difficile de nier que la compréhension développée par Woodin et les théories qu’il élabore portent sur quelque chose, quand bien même cette chose ne serait pas l'infini non dénombrable en termes duquel les résultats sont aujourd’hui énoncés ». Les derniers progrès portent enfin sur des constructions conceptuelles dont la somme dessine un paysage de plus en plus net et cohérent des ensembles jusqu’au niveau Aleph-2, laissant entrevoir que l’axiome MMVW sera bientôt ajouté à ZFC+DP et qu’il permettra de dire que HC est fausse. Hugh Woodin à qui on doit une partie importante des dernières avancées est clair: «il y a 10 ans, +15 +
