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JEAN-PAUL DELAHAYE Le premier est l’axiome de détermination projective, DP. Cet axiome, qui est l'aboutissement des recherches menées dans les décennies 1970 et 1980, exprime que tous les jeux d’une certaine catégorie de jeux infinis possèdent des stratégies gagnantes permettant à l’un des deux joueurs de gagner à tout coup. Une série de résultats dus en particulier à Jan Mycielski, Yiannis Moschovakis et Alexander Kechris montre que DP stabilise la partie de l'univers des ensembles correspondant à l'infini juste au-dessus du dénombrable (Aleph-1) ce qui va donc plus loin que la stabilisation par ZFC des entiers (le dénombrable, Aleph-0). D’autre part, l’axiome DP est compatible avec les axiomes des grands cardinaux car — et ce fut l’un des aboutissements de la recherche de cette période — Donald Martin et John Steel ont établi en 1985 que DP était lui-même, en un sens précis, un axiome de grand cardinal. Malheureusement, DP ne dit rien concertant HC et laisse donc toujours le choix entre l’ajouter ou ajouter sa négation ! Il faut aller encore plus loin et chercher des axiomes qui stabilisent l’univers des ensembles au-delà de Aleph-1. C’est là que les derniers progrès de la théorie se sont présentés. Un nouvel axiome MMW (Martin Maximum de Woodin) a été proposé par Hugh Woodin qui nous conduit tout prés de la solution attendue pour HC. Bien que la situation a propos de cet axiome ne soit pas définitivement réglée, les résultats a son sujet convergent de manière résolue vers la conclusion que HC est fausse. Voici pourquoi. D'une part, cet axiome stabilise la partie de l’univers des ensembles correspondant cette fois à l'infini, deux degrés au-dessus de l'infini dénombrable infini (Aleph-2). On a gagné un degré par rapport à DP. Cet axiome est donc un bon axiome au sens des critères adoptés aujourd’hui pour trier les axiomes. D'autre part, il apparaît très probable que le nouvel axiome est conforme au maximalisme ontologique, car un axiome assez semblable a été démontré compatible avec les axiomes de grands cardinaux. Troisième point: moyennant une hypothèse jugée raisonnable et dont on espère pouvoir obtenir la preuve (cette hypothèse est nommée oméga-conjecture) on sait que HC est fausse quand on adopte MMW. Dernier point, peut-être le plus important: toujours sous la réserve de l’omégaconjecture, on sait que tout axiome qui stabiliserait la partie de l’univers correspondant à Aleph-2 aurait aussi pour conséquence la fausseté de HC. Autrement dit, si tout cela est confirmé, toute méthode de stabilisation des ensembles jusqu’à Aleph-2 a pour conséquence que HC est fausse. Patrick Dehornoy propose de dire que HC est essentiellement fausse. Moyennant quelques points en attente, le programme de Güdel de recherche de nouveaux axiomes naturels permettant la résolution de HC toucherait donc + 14°
